Lifting The Exponent Lemma

本來是為了 Zsigmondy's Theorem 做準備，但忽然想起這其實挺好用的，所以特別分出來。

定義：當 $n=p_1^{n_1}{p}_2^{n_2}...$，$v_{p_i}(n)=n_i$ ，即 $v_p(n)$是取得 $p$ 在 $n$ 裡面質因數方解的次方數。

描述

$p$是質數，$p\nmid ab$，$p\mid a-b$

For $p=2$ 且 $2\mid n$：

$$v_p(a^n-b^n)=v_p(a-b)+v_p(a+b)+v_p(\frac{n}{2})$$

其餘 case：

$$v_p(a^n-b^n)=v_p(a-b)+v_p(n)$$

證明

其實我們可以只需要證明其餘 Case 即可，因為假如我們證明了其餘Case，就可以處理特例：

先設 $v_2(n)=k$，所以根據其餘 Case：

$$v_2(a^n-b^n)=v_2(a^{2^k}-b^{2^k})$$

然後因式分解可以得到

$$v_2(a^{2^k}-b^{2^k})=v_2(a-b)+v_2(a+b)+\sum _{i=1}^{t-1}{v}_2(a^{2^i}+b^{2^i})$$

考慮到奇數的平方和只會是 $4k+2$，也就是只會有一個 2。所以後面sum就變成 $t-1$ ，完成特例的推導。

接下來我們先證明一個特化的版本 $v_p(n)=0$：

當 $p\nmid abn,p\mid a-b$，有

$$v_p(a^n-b^n)=v_p(a-b)$$

也就是說，我們要證明 $p\nmid \sum _{i=1}^{n-1}{a}^{p-i}{b}^i$，而在模 p 底下，我們有：

$$\sum _{i=1}^{n-1}{a}^{p-1-i}{b}^i\equiv \sum _{i=1}^{n-1}{a}^{p-1}\equiv n{a}^{p-1}\not\equiv 0$$

然後為了推到題設，我們需要幾個讀者自己證明的 Lemma:

Lemma 1

當 $p>2,p\nmid k$，有：

$$v_p((1+kp{)}^p-1)=2$$

Lemma 2

當 $p>2,p\nmid ab,p\mid a-b$，有：

$$v_p(a^p-b^p)=v_p(a-b)+1$$

TIP

HINT: 因式分解+ Lemma 1

有了 Lemma 2 ，就可以輕易的把次方下放。

習題

• $a,b$為正整數，解$|2^a-3^b|=1$

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14dc447-從 gitbook-math-note 搬入數學筆記 (#61)