替換法

abc = 1 替換: $a=\frac{y}{x}$, $b=\frac{z}{y}$, $c=\frac{x}{z}$

Example:

$$\frac{1}{\sqrt{1+a}}+\frac{1}{\sqrt{1+b}}+\frac{1}{\sqrt{1+c}}\le \sqrt{\frac{9}{2}}$$

由柯西不等式：

$${\left(\sum _{cyc}\sqrt{\frac{x}{x+y}}\right)}^2\le \left(\sum _{cyc}x(y+z)\right)\left(\sum _{cyc}\frac{1}{(x+y)(y+z)}\right)$$

所以我們只需要證明：

$$\frac{(xy+yz+zx)(x+y+z)}{(x+y)(y+z)(z+x)}\le \frac{9}{8}$$

即是：

$$6xyz\le \sum x^2(y+z)$$

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14dc447-從 gitbook-math-note 搬入數學筆記 (#61)