高斯符號

定義

• $n\le x<n+1\Rightarrow \lfloor x\rfloor =n$
• $n<x\le n+1\Rightarrow \lceil x\rceil =n+1$
• $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$
• 有時 $\lfloor x\rfloor$也寫作 $[x]$

性質

• $[x]+[y]\le [x+y]\le [x]+[y]+1$

埃爾米特恆等式

$$\lfloor mx\rfloor =\sum _{i=0}^{m-1}\lfloor x+\frac{i}{m}\rfloor$$

這裡就不多做證明

TIP

HINT: 可以只考慮 $x\in [0,1)$ 的情況。

由埃爾米特恆等式，可以再推得以下恆等式

$$\sum _{k=0}^{m-1}\lfloor \frac{km}{n}\rfloor =\sum _{k=0}^{m-1}\sum _{i=0}^{m-1}\lfloor \frac{k}{n}+\frac{i}{m}\rfloor =\sum _{i=0}^{m-1}\lfloor \frac{in}{m}\rfloor$$

也就是說，在這式子裡面 $n$ 和 $m$ 可以相互交換，而這和二次互反律也有關聯。

n!因數分解

$n!$ 裡面的 $p$ (質數) 的次方是多少？可以觀察 $n$ 底下，有多少個 $p$ 的倍數、$p^2$的倍數...：

$$\sum _{i=1}(i-(i-1))\lfloor \frac{n}{p^i}\rfloor =\sum _{i=1}\lfloor \frac{n}{p^i}\rfloor$$

之所以先乘 $i$ 是因為 $p^i$ 貢獻 $i$ 個 $p$，而扣掉 $i-1$，是因為和前面 $p...p^{i-1}$ 重複計算。

習題

1. 解 $x^2-4\lfloor x\rfloor +1=0$
2. 證明：若 $\lfloor \sqrt{n}\rfloor \mid n$，且 $n$ 不是完全平方數，則$\lfloor \sqrt{n}\rfloor +1\mid n$ 或 $\lfloor \sqrt{n}\rfloor +2\mid n$
3. x, y 是正整數，證明:$x!y!\mid (x+y)!$

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14dc447-從 gitbook-math-note 搬入數學筆記 (#61)