Vieta Jump

這是一個用根與係數關係的數論解題方式。

主要有兩個重點：

• 根與係數
• 無窮遞降法

以下 (a, b)皆為正整數。

IMO 1988 P6

$$k=\frac{a^2+b^2}{ab+1}\in \mathbb{N}$$

證明：$k$ 是完全平方數。

首先先固定非平方數

$$S_k=\{(a,b)\in \mathbb{N}|\frac{a^2+b^2}{ab+1}=k\}$$

假如 $|S_k|>0$， 那就從裡面挖出一個最小(定義為 $v(a,b)=a+b$ )的解 $(a,b)$ ，並且讓 $a>b$ ($a=b$ 是不可能的。)

改寫成 $a^2-(kb)a+(b^2-k)=0$。

所以，我們可以知道有 $b^{\prime }$ ，使得 $a,b^{\prime }$ 是 $x^2-(kb)x+(b^2-k)=0$ 的解。

根據根與係數關係，可以有：

1. $a+b^{\prime }=kb$ ==> b' 是整數
2. $a{b}^{\prime }=b^2-k$==> 因為 k 並非平方數，所以 $b^{\prime }\ne 0$

並且因為 $\frac{b^{\prime 2}+a^2}{a{b}^{\prime }+1}=k>0$，得到 $b^{\prime }\ge 0$

由 (1) (2) 可以知道，$(a,b^{\prime })$ 也是一組解，並且因為 $(a,b)$ 最小，所以 $b^{\prime }\ge b$

由 (2) 可以推得

$$b^{\prime }=\frac{b^2-k}{a}<\frac{b^2}{a}\le b$$

矛盾。

台灣 TST 2011

$$k=\frac{a^2+b^2+6}{ab}\in \mathbb{N}$$

證明：$k$ 是完全立方數。

固定k，選一個最小解(a, b)，並且 $a\ge b$。

由跟與係數關係(重複上面推斷)，可以得到

$$b\le a\le \sqrt{b^2+6}$$

所以，就剩下這些可能：

1. a = b
2. a = b + 1
3. a = b + 2

剩下就不需要多說了。

羅馬尼亞 MO 2004

$$\frac{a^2+ab+b^2}{ab-1}\in \mathbb{N}$$

求所有解。

先枚舉a, b < 4的解：f(1, 2) = 7、f(2, 2) = 4

設裡面某元素為t，可以得到：

$$a^2-(bt-b)a+(b^2+t)=0$$

讓(a, b)為最小解，且a >= b > 3

• a + a' = bt - b => a'是整數
• aa' = bb + t =>
  • a'是正數
  • (a', b)合法解
  • 因為(a, b)最小，所以a' >= a

$$b\le a\le \sqrt{b^2+t}$$

回到原本的式子：

$$t=\frac{a^2+ab+b^2}{ab-1}\le \frac{3a^2}{b^2-1}\le \frac{3(b^2+t)}{b^2-1}$$

==>

$$t\le \frac{3b^2}{b^2-4}\le 4$$

所以只要確認 t = 1 ~ 4。

USA TST 2002

$$\frac{a^2+b^2}{ab-1}\in \mathbb{N}$$

求所有解。

NOTE

交給讀者了~

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14dc447-從 gitbook-math-note 搬入數學筆記 (#61)