原根

定義

$gcd(a,m)=1$，則存在最小的正整數 $d$ 使的

$$a^d\equiv 1(modm)$$

此時，我們稱 $d$ 為 $a$ 在模 $m$ 底下的指數，並且記為 ${\delta }_m(a)$。

當 ${\delta }_m(a)=\varphi (m)$，稱 a 為原根。

性質

1. $a^d\equiv 1\Rightarrow {\delta }_m(a)\mid d$
2. 由 (1) 可以知 ${\delta }_m(a)\mid \varphi (m)$
3. ${\delta }_m(a)={\delta }_m(a^{-1})$
4. ${\delta }_m(a^k)=\frac{{\delta }_m(a)}{({\delta }_m(a),k)}$
5. ${\delta }_m(ab)={\delta }_m(a){\delta }_m(b)\iff ({\delta }_m(a),{\delta }_m(b))=1$

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14dc447-從 gitbook-math-note 搬入數學筆記 (#61)