Cauchy-Schwarz 不等式

設 $a_{i}, b_{i} \in R^{+} (i = 1, . . ., n)$ ，則

{(\sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i})}^{2} \leq (\sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2}) (\sum_{i = 1}^{n} b_{i}^{2})

等號成立於

或者

考慮

\sum (a_{i} - b_{i} x)^{2} = \sum b_{i}^{2} x - 2 \sum a_{i} b_{i} + \sum a_{i}^{2} \geq 0 \forall x \in R

判別式就是不等式，並且在式子 = 0 時 $x = \frac{a_{i}}{b_{i}} \forall i$

\sum_{i = 1}^{n} \frac{a_{i}^{2}}{b_{i}} \geq \frac{{(\sum_{i = 1}^{n} a_{i})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} b_{i}}

\frac{a^{4}}{a + b} + \frac{b^{4}}{b + c} + \frac{c^{4}}{c + a} \geq \frac{3}{2}

\frac{a}{b + 2 c + 3 d} + \frac{b}{c + 2 d + 3 a} + \frac{c}{d + 2 a + 3 b} + \frac{d}{a + 2 b + 3 c} \geq \frac{2}{3}

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