柯西函數方程

加性函數

$$f(x+y)=f(x)+f(y)$$

有理數定義域

• $x=y=0\Rightarrow f(0+0)=2f(0)\Rightarrow f(0)=0$... (1)
• $x=-y\Rightarrow f(0)=f(x)+f(-x)\Rightarrow f(x)=-f(-x)$ ... (2)
• 當$n\in \mathbb{N}$，$f(nx)=f((n-1)x)+f(x)=...=nf(x)$ ... (3)
• 由 (2), (3) 可以知道 $f(-nx)=nf(-x)=(-n)f(x)$ ... (4)
• 由 (3), (4) 可以知道，當 $x=\frac{q}{p}$ ，其中 p, q 是整數，那 ：

$$pf(\frac{q}{p})=f(q)=qf(1)$$

所以 x 為有理數時：$f(x)=f(1)x$

其他條件

只憑加性，並沒有辦法確認他就是線性函數，需要有其他條件：例如追加連續的話，可以 $f(x)=cx\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$。

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14dc447-從 gitbook-math-note 搬入數學筆記 (#61)