平均不等式

定義與定理

a_{i} > 0 \forall i

算數平均數

A_{n} = \frac{a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n}}{n}

幾何平均數

G_{n} = \sqrt[n]{a_{1} a_{2} . . . a_{n}}

調和平均數

H_{n} = \frac{n}{\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + . . . + \frac{1}{a_{n}}}

則：

H_{n} \leq G_{n} \leq A_{n}

且等號成立 if and only if $a_{1} = a_{2} = . . . = a_{n}$

事實上，幾何平均數和調和平均數的比較可以直接由算幾不等式推得，所以我們只需要證明算幾的部分就好。

遞推證明

n = 2 成立

顯然： $\frac{x + y}{2} - \sqrt{x y} = \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})^{2}}{2} \geq 0$

n 成立 -> 2n 成立

\frac{\frac{a_{1} + . . . + a_{n}}{n} + \frac{a_{n + 1} + . . . + a_{2 n}}{n}}{2} \geq \sqrt{\frac{a 1 + . . . a_{n}}{n} \frac{a_{n + 1} + . . . + a_{2 n}}{n}} \geq \sqrt{\sqrt[n]{a_{1} . . . a_{n}} \sqrt[n]{a_{n + 1} . . . a_{2 n}}} = \sqrt[2 n]{a_{1} . . . a_{2 n}}

n 成立 -> n-1 成立

令 $s = a_{1} + . . . + a_{n - 1}$

\frac{s}{n - 1} = \frac{a_{1} + . . . a_{n - 1} + \frac{a_{1} + . . . a_{n - 1}}{n - 1}}{n} \geq \sqrt[n]{a_{1} . . . a_{n - 1} (\frac{s}{n - 1})}

移項後即得證。

由Jensen不等式證明

兩邊取 $\ln$ 可以由 $\ln$ 的凸向上性直接得到

\ln (\frac{a_{1} + . . . + a_{n}}{n}) \geq \frac{\ln a_{1} + . . . + \ln a_{n}}{n}

習題

$a, b > 0, a b^{2} = 1$ ，求 $a + 4 b$ 的最小值？
$a, b, c$ 為三角形三邊長，證明： $a b c \geq (a + b - c) (b + c - a) (c + a - b)$
$a, b > 0, a + b \leq 2$ ，證明： $\frac{a}{b + a b} + \frac{a}{b + a b} \geq 1$
$a, b, c > 0$ ，證明： $(\frac{a + 2 b}{c})^{2} + (\frac{b + 2 c}{a})^{2} + (\frac{c + 2 a}{b})^{2} \geq 27$

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n = 2 成立

n 成立 -> 2n 成立

n 成立 -> n-1 成立

由Jensen不等式證明

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n = 2 成立

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