Imgcity🧮 數學代數不等式一魚多吃的題目

一魚多吃的題目

題目

$a + b + c = 1$ ，證明：

(1 + a^{2}) (1 + b^{2}) (1 + c^{2}) \geq {(\frac{10}{9})}^{3}

解法

凹凸函數

Let $f (x) = \ln (1 + x^{2})$ ，發現 $f^{″} (x) \geq 0 \forall x \leq 1$

配方法

(1 + a^{2}) (1 + b^{2}) (1 + c^{2}) = (a + b + c - a b c)^{2} + (1 - a b - b c - c a)^{2}

元件法

\ln (1 + x^{2}) \geq \ln \frac{10}{9} + \frac{3 x - 1}{5}

附贈的不等式

$a + b + c = 1$ ，證明：

(1 + a^{2}) (1 + b^{2}) (1 + c^{2}) \leq \frac{10^{3}}{3^{7} (a b + b c + c a)}

$a, b, c \in R$ ，證明：

(1 + a^{2}) (1 + b^{2}) (1 + c^{2}) \geq \frac{10}{81} {(a + b + c + \frac{7}{3})}^{2}

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