Hölder 不等式

$a_{i}, b_{i} > 0, p, q > 1, \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ ，則

\sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i} \leq {(\sum_{i = 1}^{n} a^{p})}^{\frac{1}{p}} {(\sum_{i = 1}^{n} b^{q})}^{\frac{1}{q}}

並且等號成立在 $a^{p} = λ b^{q}$ 。

不失一般性，設 $| | a | |_{p} = | | b | |_{q} = 1$ 。根據 Young 不等式：

\sum a_{i} b_{i} \leq \frac{\sum a_{i}^{p}}{p} + \frac{\sum b_{i}^{q}}{q} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1

回推等號成立的條件是：

{(\frac{a}{| | a | |_{p}})}^{p} = {(\frac{b}{| | b | |_{q}})}^{q}

得證。

證明： $\frac{1}{\sin^{4} θ} + \frac{1}{\cos^{4} θ} \geq 8$
a, b > 0, $x \in (0, \frac{π}{2})$ ，求 $\frac{a}{\sqrt{\sin x}} + \frac{b}{\sqrt{\cos x}}$ 的最小值

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